Доказательство формулы суммы квадратов натуральных чисел

Сумма квадратов первых n натуральных чисел выражается формулой: S = 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Рассмотрим различные методы доказательства этой формулы.

Математическое доказательство методом математической индукции

Базис индукции

Для n = 1: 1² = 1 = 1×2×3/6 = 1. Формула верна.

Индукционное предположение

Предположим, формула верна для n = k: Sₖ = k(k+1)(2k+1)/6.

Индукционный переход

Докажем для n = k+1:

1. Sₖ₊₁ = Sₖ + (k+1)²
2. Подставляем Sₖ: k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
3. Выносим (k+1)/6 за скобки: (k+1)/6 × [k(2k+1) + 6(k+1)]
4. Раскрываем скобки: (k+1)/6 × (2k² + 7k + 6)
5. Разложим на множители: (k+1)/6 × (k+2)(2k+3)
6. Получаем: (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

Комбинаторное доказательство

Доказательство через кубическую рекуррентность

Используем тождество: (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1

• Запишем это тождество для k от 1 до n
• Сложим все уравнения
• После сокращений получим искомую формулу

Пример вычисления

Применение формулы

Формула суммы квадратов используется в:

• Вычислении моментов инерции в физике
• Статистических расчетах
• Анализе алгоритмов
• Теории вероятностей